腾讯网首页 | 手机腾讯网 | 设为首页 | 导航

上海世博会腾讯世博 > 园区花絮 > 正文

数学老师世博开讲 委内瑞拉馆内说麦比乌斯圈

2010年09月02日11:16文汇报我要评论(0)
字号:T|T

上传照片赢佳能550D单反 | 免费发明信片赢大奖 | 订制世博精彩资讯

世博会上的数学展示历来是一出重头戏。1900年的巴黎世博会上,数学天才黎曼曾提出著名的“黎曼猜想”,用数学开启了一个世纪的空间革命。相比曼妙多姿的视觉展示物,本届世博会的数学模型有点“养在深闺人未识”。今天我们要介绍的“麦比乌斯圈”,虽被好几个场馆运用,但人们大多只是匆匆一瞥。

执教老师:陆杰(上海市曹杨二中)

参观场馆:委内瑞拉馆(网上委内瑞拉馆)

知识点:介绍“麦比乌斯圈”的数学模型

委内瑞拉馆外观如“麦比乌斯圈”,其三维立体结构被称为“克莱因瓶”,意为一个没有边界的、连续的闭合曲面;外部与内部相融会,比喻城市如同一条不间断的道路。展馆在平面结构上近似数字“8”,以循环线结构模糊淡化了层次的界限,加强了空间的整体感。类似“麦比乌斯圈”的设计理念,还出现在浦西万科馆(网上万科馆)的莫比斯环厅,体现了资源无限循环的环保理念。今天我们就来试着揭开“麦比乌斯圈”的神秘面纱。

麦比乌斯圈的发现

麦比乌斯圈是一种单侧、不可定向的曲面。将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定,另一端DC扭转半周后,把AB和CD粘合在一起,得到的曲面就是麦比乌斯圈,也称麦比乌斯带。它因十九世纪德国数学家、天文学家A.F.麦比乌斯发现而得名。

数学史上流传着这样一个故事:有人曾提出,用一张长方形的纸条,首尾相粘,做成一个纸圈,只允许用一种颜色在纸圈的一面涂抹,最后把整个纸圈全部抹成一种颜色,不留下任何空白,这个纸圈应该怎样粘?如果纸条首尾相粘做成的纸圈有两个面,势必要涂完一个面再重新涂另一个面,不符合要求,那能不能做成只有一个面、一条封闭曲线为边界的纸圈呢?

对于这样一个看来十分简单的问题,数百年间,曾有许多科学家进行了认真研究,结果都没有成功。德国数学家麦比乌斯一天到野外散步,他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。一片片肥大的玉米叶子,在他眼里变成了“绿色的纸条”,他不由自主地蹲下去摆弄、观察。叶子弯曲着耸拉下来,有许多扭成半圆形的,他随手撕下一片,顺着叶子自然扭曲的方向对接成一个圆圈。他惊喜地发现,这绿色的圆圈就是自己梦寐以求的答案。

麦比乌斯回到办公室裁出纸条,扭转着做成了一个纸圈。他捉了一只小甲虫,放在纸圈上让它爬。结果,小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈的所有部分。麦比乌斯激动地说:“公正的小甲虫,你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。”麦比乌斯圈就这样被发现了。

神奇的麦比乌斯圈

做几个简单的实验,就会发现“麦比乌斯圈”有许多让我们惊奇有趣的结果。

实验1:在裁好的一张纸条正中间画一条线,粘成麦比乌斯圈,再沿线剪开,把这个圈一分为二,照理应得到两个圈儿,奇怪的是,剪开后竟是一个大圈儿。

实验2:如果在纸条上划两条线,把纸条三等分,再粘成麦比乌斯圈,用剪刀沿画线剪开,剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点,猜一猜,剪开后的结果是什么,是一个大圈?还是三个圈儿?都不是。它究竟是什么呢?你会惊奇地发现,纸带没有一分为二,而是一大一小的相扣环。

有趣的是,新得到的这个较长的纸圈,本身却是一个双侧曲面,它的两条边界自身虽不打结,却相互套在一起。我们可以把上述纸圈,再一次沿中线剪开,这回可真的一分为二了!得到的是两条互相套着的纸圈,而原先的两条边界,则分别包含于两条纸圈之中,只是每条纸圈本身并不打结罢了。

关于麦比乌斯圈的单侧性,我们可以如下作一个直观的了解:给麦比乌斯圈着色,色笔始终沿曲面移动,且不越过它的边界,最后可把麦比乌斯圈两面均涂上颜色,即区分不出哪是正面,哪是反面。单侧性又称不可定向性。以曲面上除边缘外的每一点为圆心各画一个小圆,对每个小圆周指定一个方向,称为相伴麦比乌斯圈单侧曲面圆心点的指向,若能使相邻两点相伴的指向相同,则称曲面可定向,否则称为不可定向。

麦比乌斯圈是不可定向的。麦比乌斯圈还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题却不可思议地在麦比乌斯圈上获得了解决。比如在普通空间无法实现的“手套易位问题”:人左右两手的手套虽然极为相像,但却有着本质的不同。我们不可能把左手手套贴切地戴到右手上去,也不能把右手手套贴切地戴到左手上来。无论怎么扭来转去,左手套永远是左手套,右手套也永远是右手套。但倘若你把它搬到麦比乌斯圈上来,那么解决起来就易如反掌了。

“手套易位问题”告诉我们:堵塞在一个扭曲了的面上,左、右手系的物体可以通过扭曲实现转换。让我们展开想象的翅膀,设想我们的空间在宇宙的某个边缘,呈现出麦比乌斯圈式的弯曲。那么,有朝一日,我们的星际宇航员会带着左胸腔的心脏出发,却带着右胸腔的心脏返回地球。

本报记者 王柏玲整理

登录 (请登录发言,并遵守相关规定) 分享至: 腾讯微博